Análisis Numéricos.

5. Ejercicio ortodrómica

Objetivo

Escribir un programa en C++ que calcule la ortodrómica, dada la latitud y longitud de ambas ubicaciones.

Marco teórico

La ortodrómica (del griego orthos "recto" y dromos "carrera") es el camino más corto (distancia) entre dos puntos de la superficie terrestre; es el arco del círculo máximo que los une, menor de 180 grados. [Wikipedia]

Suponiendo un radio terrestre constante de 6371 km, la ortodrómica se puede calcular de la siguiente manera:

$d=r\Delta\hat{\sigma}$

donde

$r$ es el radio de la Tierra y

$\Delta\hat{\sigma}$ es el ángulo central entre ambos puntos, que se puede obtener utilizando la ley esférica del coseno:

$\Delta\hat{\sigma}=\arccos(\text{sen}\phi_{i}\:\text{sen}\phi_{f}+\cos\phi_{i}\:\cos\phi_{f}\:\cos\Delta\lambda)$

C++ cuenta con una librería que incluye funciones trigonométricas (cmath), pero por cuestiones didácticas, aproximaremos por series de Taylor.

$\text{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots$

$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$

$\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}x^{2n+1}$

Sugerencias

Además de las funciones seno, coseno y arco coseno, utilice funciones para calcular potencia y factorial.
Utilizando de 6 a 10 términos en las series, se obtiene una muy buena aproximación.
Defina una variable con el valor de pi.
Para mejorar la precisión, utilice variables del tipo double.
Para apreciar el resultado, defina la cantidad de decimales que se muestran en pantalla con:
```
cout.precision(15);
```