Análisis Numéricos.

3.2. Punto fijo

El método del punto fijo es un método abierto, también llamado de iteración de un punto o sustitución sucesiva, que reordena la ecuación de la forma en que x esté del lado izquierdo de la ecuación, para buscarla intersección entre la recta identidad y la curva g(x), como se muestran en los siguientes ejemplos.

Plantemos ahora la función identidad y=x y una función x=g(x) llamada iteradora ( luego veremos como se obtiene a partir de f(x). Si graficamos:

Observe que la raiz de f(x) se encuentra en el mismo valor de x donde ocurre la intersección entre la recta identidad en color verde y la función g(x) en color naranja. Se usa la linea vertical en color morado en x=raiz como referencia de lo indicado.

El método consiste en establecer un punto inicia x₀ para la búsqueda, que se usa para calcular el valor g(x₀).

En la siguiente iteración el nuevo valor para x es g(x₀), que se refleja en la recta identidad y nuevamente se usa para calcular g(x).

El resultado iterativo se muestra en la figura animada, donde se observa que el resultado es convergente.

Obtenido de: http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/punto-fijo-concepto/

Vamos a aplicar el método en la siguiente función:

La gráfica de esta función es:

Si planteamos una ecuación :

Primer paso:

trabajamos matematicamente para dejar la expresión de la siguiente forma  X=g(x) , a g se la conoce como función iteradora.

Podemos tener varias alternativas....

a)

b)

c)

Si planteamos:

  y luego despejando x:

d)

vamos a usar la  (d) .

Segundo paso

¿Cual es la raiz? Vemos en la gráfica que es x₀=2 lo que produce y=0 (raiz)

Tercer Paso

Terminado el segundo paso se  evalúa la relación encontrada en x₀  denotándose el resultado de esta evaluación como x₁, esto es

G(x₀) = x₁

Cuarto Paso

El siguiente paso es comparar x₁ con x₀ , resultando dos alternativas:  Sí x₀ y x₁  son iguale, encotré la solución, fin del problema. Si son distintas continúo de la siguiente manera.

Este es el caso más frecuente  e indica  que x₁  y x₀  son diferentes  de la raíz, puesto que si  x = a  no es una raíz entonces f(a) es distinto 0, por otro lado si evaluamos g(a) es distinto a. Entonces  el resultado se le denota con x₂ , un nuevo valor para probar.... es decir, x₂ = g(x₁), esto se repite de manera iterativa  bteniendo el siguiente esquema.

Debemos resaltar que la sucesión x₀, x₁, x₂, x₃;…x_k… se va acercando al valor de la raíz r₁, de manera que x_k se encuentra más cerca de r que x_k-1 o se van alejando de la raíz.