Fundamentos de Radiación Electromagnética | Ecuaciones de Maxwell

2. Ecuaciones de Maxwell

Los fundamentos de la teoría electromagnética moderna fueron formulados en 1873 por James Clerk Maxwell, quien hipotetizó, basándose únicamente en consideraciones matemáticas, la propagación de ondas electromagnéticas y la idea de que la luz era una forma de energía electromagnética. La formulación de Maxwell fue adaptada a su forma moderna por Oliver Heaviside durante el período de 1885 a 1887. Heaviside fue un genio solitario cuyos esfuerzos eliminaron muchas de las complejidades matemáticas de la teoría de Maxwell, introdujeron la notación vectorial y proporcionaron una base para aplicaciones prácticas de ondas guiadas y líneas de transmisión. Heinrich Hertz, un profesor alemán de física y un experimentador talentoso que comprendió la teoría publicada por Maxwell, llevó a cabo una serie de experimentos entre 1887 y 1891 que validaron la teoría de ondas electromagnéticas de Maxwell. La Figura más abajo es una fotografía del equipo original utilizado por Hertz en sus experimentos.

Es interesante observar que este es un caso de un descubrimiento que ocurre después de que se ha hecho una predicción basada en fundamentos teóricos, una característica de muchos de los principales descubrimientos a lo largo de la historia de la ciencia. Todas las aplicaciones prácticas de la teoría electromagnética—radio, televisión, radar, teléfonos celulares y redes inalámbricas deben su existencia al trabajo teórico de Maxwell.

Fuente: https://www.lindahall.org/about/news/scientist-of-the-day/heinrich-hertz

Debido a la falta de fuentes de microondas confiables y otros componentes, el rápido crecimiento de la tecnología de radio a principios de 1900 ocurrió principalmente en el rango de HF a VHF. No fue hasta la década de 1940 y el desarrollo del radar durante la Segunda Guerra Mundial cuando la teoría y la tecnología de microondas recibieron un interés sustancial. En los Estados Unidos, se estableció el Laboratorio de Radiación en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT) para desarrollar la teoría y la práctica del radar. Un grupo de talentosos científicos, entre ellos N. Marcuvitz, I. I. Rabi, J. S. Schwinger, H. A. Bethe, E. M. Purcell, C. G. Montgomery y R. H. Dicke, entre otros, se reunieron durante un período de desarrollo muy intensivo en el campo de las microondas. Su trabajo incluyó el tratamiento teórico y experimental de componentes de guía de ondas, antenas de microondas, teoría de acoplamiento de pequeñas aberturas y los inicios de la teoría de redes de microondas. Muchos de estos investigadores eran físicos que regresaron a la investigación en física después de la guerra, pero su trabajo en microondas está resumido en la clásica Serie de libros del Laboratorio de Radiación, compuesta por 28 volúmenes, que aún encuentra aplicación en la actualidad.

Los sistemas de comunicación que utilizan tecnología de microondas comenzaron a desarrollarse poco después del nacimiento del radar, beneficiándose de gran parte del trabajo que originalmente se realizó para los sistemas de radar. Las ventajas ofrecidas por los sistemas de microondas, como el amplio ancho de banda y la propagación en línea de vista, han demostrado ser fundamentales tanto para los sistemas de comunicación terrestres como para los satelitales, lo que ha proporcionado un impulso para el continuo desarrollo de componentes de microondas miniaturizados y de bajo costo.

Ecuaciones de Maxwell

Los fenómenos eléctricos y magnéticos a nivel macroscópico se describen mediante las ecuaciones de Maxwell, publicadas por Maxwell en 1873. Este trabajo resumió el estado de la ciencia electromagnética en ese momento e hipotetizó, a partir de consideraciones teóricas, la existencia de la corriente de desplazamiento eléctrico, lo que llevó al descubrimiento experimental de la propagación de ondas electromagnéticas por Hertz. El trabajo de Maxwell se basó en un extenso cuerpo de conocimientos empíricos y teóricos desarrollados por Gauss, Ampere, Faraday y otros. Con una conciencia de la perspectiva histórica, suele ser ventajoso desde un punto de vista pedagógico presentar la teoría electromagnética desde el enfoque "inductivo" o axiomático, comenzando con las ecuaciones de Maxwell. La forma general de las ecuaciones de Maxwell que varían en el tiempo puede entonces escribirse en forma "puntual" o diferencial como:

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mu \mathbf{H}}{\partial t} \quad \text{(Ley de inducción de Faraday)}$

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad \text{(Ley de Ampère-Maxwell)}$

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \quad \text{(Ley de Gauss para el campo eléctrico)}$

$\nabla \cdot \mathbf{H} = 0 \quad \text{(Ley de conservación de flujo)}$

En esta asignatura se utilizará el sistema MKS de unidades. Las cantidades en negrita representan campos vectoriales variantes en el tiempo y son funciones reales de las coordenadas espaciales $x, y, z$ y del tiempo $t$ .

$\mathbf{E}$ es el campo eléctrico, en volts por metro [V/m]
$\mathbf{H}$ es el campo magnético, en amperes por metro [A/m]
$\mathbf{J}$ es la densidad de corriente eléctrica, en amperes por metro cuadrado [Coul/m^2]
$\rho$ es la densidad de cargas eléctricas, en coulombs por metro cúbico [Coul/m^3]

En el espacio libre, las siguientes relaciones son ciertas:

$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$

$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E}$

donde:

$\mathbf{B}$ es la densidad de flujo magnético, en weber por metro cuadrado [Wb/m^2]
$\mathbf{D}$ es la densidad de flujo eléctrico, en coulombs por metro cuadrado [Coul/m^2]
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ [henry/m]}$ , es la permeabilidad del espacio vacío.
$\epsilon_0 = 8.854 10^{-12} \text{ [farad/m]}$ , es la permividad del espacio vacío.

Observando las ecuaciones vemos que el término originado en la corriente de desplazamiento aparece siempre. Esta es una condición necesaria para que la teoría pueda prever la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan. Si el medio fuera un conductor perfecto, en el cual no puede desarrollarse una corriente de desplazamiento, no podrían propagarse ondas electromagnéticas. Es imprescindible por lo tanto que la corriente de desplazamiento exista dado que ella es el "vortice" o "fuente" de componentes rotacionales o turbulentas de campo magnético sin las cuales no existen las ondas electromagnéticas.

Desde un punto de vista formal matemático las e- cuaciones de Maxwell en su estructura más simple, válida para un dieléctrico ideal, libre de cargas, muestra una simetría en las ecuaciones diferenciales correspondientes a las leyes de Ampere, generalizada y de Faraday.

Esta simetría permitirá plantear ecuaciones dife- renciales en forma de onda para los componentes eléctri- co y magnético de la onda, y muestran una vez más la im- portancia de considerar la corriente de desplazamiento. En las ecuaciones más generales esta misma condición sigue siendo clave para la previsión adecuada de ondas electromagnéticas.

Desde el punto de vista de teoría de campo vemos como las ecuaciones de Maxwell describen un campo magnético, intrinsecamente rotacional, generado por un vértice constituído por la variación temporal de un campo eléctrico y de un campo eléctrico enteramente rotacional generado por el võrtice constituído a su vez por variaciones temporales de un campo magnético.

En otros términos una vez generado un vórtice se produce una componente de campo de la onda, la que a su vez, constituída en vórtice, produce la otra componente de campo en un proceso concatenado en el espacio y en el tiempo que provoca un fenómeno de campo electromagnético propagándose como una onda.

El genio de Maxwell, en su doble faceta de físico y matemático, pudo de esta forma enunciar, sin verificar experiemntalmente, una teoría ondulatoria de campo a partir de los trabajos de Ampere y de Faraday que sí descansan en experiencias básicas de interdependencia de la electricidad y el magnetismo.

Por último, la teoría de Maxwell constituyó quizás la primera síntesis de importancia en el campo de la física puesto que de las ecuaciones de Maxwell pueden ser deducidas ondas electromagnéticas que abarcan todo el espectro de frecuencias involucrando las ondas visibles luminosas. Por lo tanto a partir de ese momento se unifican en un solo campo de estudio el electromagnetismo y la óptica que aparecían con anterioridad a Maxwell como dos capítulos independientes de la física.

Los trabajos de Maxwell permiten en consecuencia considerar a la luz como de naturaleza intrínsecamente electromagnética. La teoría de campo en general recibe a partir de la teoría electromagnética un fuerte impulso dado que la existencia de ondas que se propagan en el espacio y en el tiempo, aún a posteriori de haber enmudecido las fuentes, nos dice que el campo no es una mera representación formal, que facilita la comprensión de las "acciones a distancia", sino que posee una verdadera identidad física tan real e importante como las fuentes que lo produjeron.

Ello es debido a que si se conocen las componentes de campo, en un cierto punto del espacio y en un cierto tiempo, será entonces posible conocer el valor que tendrán en otro punto cercano y un instante de tiempo posterior, no siendo necesario, como en la mecánica, referirse a las condiciones iniciales existentes en la fuente del proceso.

Concretamente la descripción de un campo electromagnético que se propaga en el espacio y en el tiempo, podrá ser matemáticamente efectuada mediante la utilización de ecuaciones diferenciales homogéneas dado que no será necesario incluir la información de espacio y tiempo en correspondencia de las fuentes y ni siguiera involucrarlas.

En cambio, cuando interese describir el proceso de radiación de las ondas electromagnéticas habrá que pensar en ecuaciones diferenciales con segundo miembro que contengan las funciones de excitación producidas en la fuente.