ET444 - Propagación y Antenas - 2026

Aproximación Conceptual con Potenciales Estacionarios

Los potenciales estacionarios en electromagnetismo se refieren a campos eléctricos y magnéticos que no dependen del tiempo, es decir, que son estáticos. Estos potenciales pueden describirse mediante las funciones escalar y vectorial conocidas como el potencial eléctrico $V$ y el potencial vectorial $\mathbf{A}$, respectivamente. En un sistema electrostático, el potencial eléctrico $V(\mathbf{r})$ en un punto $\mathbf{r}$ debido a una distribución de carga $\rho(\mathbf{r'})$ se define mediante la integral:

$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} \, d^3\mathbf{r'}$

Este potencial escalar genera un campo eléctrico $\mathbf{E}$, que es gradiente negativo de $V$:

$\mathbf{E} = -\nabla V$

Para los campos magnéticos estacionarios, el potencial vectorial $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ se define para una corriente estacionaria $\mathbf{J}(\mathbf{r'})$ como:

$\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} \, d^3\mathbf{r'}$

El campo magnético $\mathbf{B}$ se obtiene mediante el rotacional de $\mathbf{A}$:

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

Estos potenciales estacionarios son cruciales para describir sistemas donde las cargas y corrientes están en un estado de equilibrio y no varían con el tiempo.

Extensión a Potenciales Electromagnéticos

Cuando los sistemas involucrados no son estáticos, es decir, cuando las cargas y corrientes varían en el tiempo, la descripción en términos de potenciales estacionarios deja de ser adecuada. En lugar de ello, se utilizan potenciales electromagnéticos que permiten considerar los efectos de la variabilidad temporal.

Los potenciales electromagnéticos $V(\mathbf{r}, t)$ y $\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)$ generalizan los conceptos de potencial escalar y vectorial para incluir dependencias temporales. Las ecuaciones de Maxwell permiten derivar estos potenciales en función de las densidades de carga y corriente en un entorno dinámico.

La relación entre el campo eléctrico $\mathbf{E}$ y el campo magnético $\mathbf{B}$ con los potenciales electromagnéticos es:

$\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

Estas ecuaciones indican que el campo eléctrico no solo depende del gradiente del potencial escalar, sino también del cambio temporal del potencial vectorial. Por su parte, el campo magnético sigue dependiendo del rotacional del potencial vectorial. El enfoque de los potenciales electromagnéticos es especialmente útil en situaciones donde las variaciones temporales de las fuentes no pueden ser despreciadas, como en el caso de las ondas electromagnéticas.

Potenciales Electromagnéticos Retardados según Lorentz

El concepto de potenciales retardados se introduce para describir cómo los efectos electromagnéticos no se propagan instantáneamente, sino a una velocidad finita, la velocidad de la luz en el vacío $c$. Esto significa que el campo en un punto dado en el espacio y en un momento determinado está influenciado por el estado de las fuentes en un instante anterior, llamado tiempo retardado.

Los potenciales retardados de Lorentz para una distribución de carga y corriente en movimiento se expresan como:

$\phi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'}, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} \, d^3\mathbf{r'}$

$\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'}, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} \, d^3\mathbf{r'}$

donde $t_r = t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}{c}$ es el tiempo retardado, que representa el tiempo en que la influencia de la fuente en $\mathbf{r'}$ llega al punto $\mathbf{r}$ en el momento $t$.

Estos potenciales indican que la información sobre la carga y la corriente en $\mathbf{r'}$ se propaga con un retardo temporal correspondiente a la distancia dividida por la velocidad de la luz.

Los campos eléctricos y magnéticos generados por estos potenciales se derivan de manera similar a los potenciales estacionarios:

$\mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

La inclusión de los potenciales retardados permite describir fenómenos como la radiación electromagnética, donde las ondas electromagnéticas se propagan desde las fuentes con un retardo temporal. Este enfoque es fundamental para entender cómo se generan y propagan las ondas electromagnéticas en situaciones dinámicas.

Los potenciales retardados según Lorentz proporcionan una base para describir la emisión de radiación por sistemas acelerados, como antenas y partículas cargadas, y son esenciales para la teoría de radiación electromagnética.

Conclusión

Los potenciales retardados son una extensión natural de los potenciales electromagnéticos estacionarios para describir sistemas dinámicos donde la variación temporal de las fuentes y la propagación finita de la interacción electromagnética no pueden ser ignoradas. A través de los potenciales retardados, se capturan los efectos del tiempo retardado en la propagación de las ondas electromagnéticas, lo que es esencial para el estudio de la radiación y otros fenómenos electromagnéticos complejos. Estos conceptos son fundamentales tanto en la teoría clásica como en aplicaciones modernas de la electrodinámica.