Repaso de tratamiento de señal
info
11. Transformaciones que se van a utilizar durante el desarrollo de la Materia
Introducción:
“Los dominios de tiempo y frecuencia son formas alternativas de representar la misma señal. La Transformada de Fourier, es la relación entre estas dos representaciones.”
Una señal puede representarse en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia, y que estas son simplemente dos formas diferentes de ver la misma información. La transformada de Fourier, es la relación entre estas dos representaciones: Aquí se introduce la transformada de Fourier como la herramienta matemática que permite pasar de una representación a la otra.
“De esta forma, si una señal se modifica en un dominio, también se cambiará en el otro dominio, aunque normalmente no de la misma forma.”
Cualquier cambio en una señal en un dominio (tiempo o frecuencia) resultará en un cambio correspondiente en el otro dominio.
“Por ejemplo, la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia. Estas relaciones se llaman propiedades de la transformada de Fourier”
Aquí se da un ejemplo específico de cómo una operación en un dominio corresponde a una operación diferente en el otro dominio. En este caso, la convolución en el tiempo corresponde a la multiplicación en la frecuencia. Finalmente, se menciona que estas correspondencias entre operaciones en diferentes dominios son conocidas como las propiedades de la transformada de Fourier.
La convolución es una operación que combina dos señales de una manera específica. Si convolucionas dos señales en el dominio del tiempo, es lo mismo que multiplicar sus transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia. Esto es una manifestación de una propiedad general de la Transformada de Fourier: las operaciones en un dominio tienen equivalentes en el otro dominio.
Como se mencionó en el párrafo anterior, la convolución es una forma de combinar dos señales, pero puede ser una operación matemática complicada cuando se realiza en el dominio del tiempo. Sin embargo, en el dominio de la frecuencia, la convolución se convierte en una simple multiplicación. Esto significa que si quieres convolucionar dos señales, puedes transformarlas al dominio de la frecuencia, multiplicarlas y luego transformar el resultado de vuelta al dominio del tiempo. Este proceso puede ser más eficiente que realizar la convolución directamente en el dominio del tiempo.
La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que nos permite pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa. Esto es útil porque ciertas operaciones que son complicadas en un dominio pueden ser más simples en el otro.
Transformadas de Fourier
Hay cuatro miembros principales en la familia de la Transformada de Fourier:
La Transformada de Fourier (TF),
La Série de Fourier,
La Transformada de Fourier Discreta (DFT)
La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT).
Cada uno de estos miembros se utiliza en diferentes contextos dependiendo de si la señal es continua o discreta, y periódica o aperiódica.
Además, se introduce la Transformada Rápida de Fourier (FFT) y su inversa (IFFT), que son algoritmos eficientes para calcular la DFT y su inversa.
La Transformada de Fourier (TF):
La transformada de Fourier es una herramienta matemática muy útil para analizar señales que varían en el tiempo o en el espacio, como las ondas sonoras, las imágenes o las señales eléctricas. Su objetivo es descomponer una señal en sus componentes de frecuencia, es decir, en las distintas oscilaciones que la forman.
¿Qué es la frecuencia de una señal?
La frecuencia de una señal es el número de veces que se repite un patrón en un intervalo de tiempo o de espacio. Por ejemplo, la frecuencia de una onda sonora es el número de ciclos que realiza por segundo, y se mide en hercios (Hz). La frecuencia determina el tono del sonido: cuanto mayor es la frecuencia, más agudo es el sonido.
Las señales reales suelen ser complejas y estar formadas por la superposición de varias ondas de distintas frecuencias, amplitudes y fases. La amplitud es la altura de la onda, y determina la intensidad del sonido. La fase es el desplazamiento horizontal de la onda respecto a un origen.
¿Cómo se calcula la transformada de Fourier?
La transformada de Fourier es una operación que permite obtener el espectro de frecuencia de una señal, es decir, la distribución de las amplitudes y las fases de las ondas que la componen. La transformada de Fourier se puede expresar mediante una fórmula matemática:
Donde x(t) es la función que representa la señal en el dominio del tiempo, X(𝛚) es la función que representa la señal en el dominio de la frecuencia, 𝛚 es la frecuencia angular (2π veces la frecuencia en Hz), j es la unidad imaginaria y e es la base del logaritmo natural.
La transformada de Fourier se puede interpretar como una suma infinita de productos entre la señal y funciones sinusoidales de distintas frecuencias, ponderados por un factor complejo. Este factor complejo contiene la información sobre la amplitud y la fase de cada componente de frecuencia.
La transformada de Fourier se puede calcular mediante métodos numéricos o algoritmos como la transformada rápida de Fourier (FFT), que reducen el tiempo de cálculo.
¿Para qué sirve la transformada de Fourier?
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones en diversos campos de la ciencia y la tecnología. Algunos ejemplos son:
En acústica, se usa para analizar el espectro sonoro de instrumentos musicales, voces humanas o ruidos ambientales.
En óptica, se usa para estudiar fenómenos como la difracción, la interferencia o la holografía.
En procesamiento digital de imágenes, se usa para filtrar, comprimir o restaurar imágenes.
En telecomunicaciones, se usa para modular, demodular o codificar señales que se transmiten por ondas electromagnéticas.
En medicina, se usa para obtener imágenes del interior del cuerpo mediante técnicas como la resonancia magnética nuclear o el ultrasonido.
En física, se usa para resolver ecuaciones diferenciales que describen fenómenos ondulatorios o cuánticos.
Transformada Inversa de Fourier
La transformada inversa de Fourier es una operación matemática que permite recuperar una señal original a partir de su espectro de frecuencias. La transformada de Fourier es el proceso inverso, que permite obtener el espectro de frecuencias de una señal. Ambas transformadas son muy útiles en el análisis y procesamiento de señales, como el sonido, la imagen o las comunicaciones.
A continuación, vamos a explicar brevemente qué es la transformada inversa de Fourier, cómo se calcula y qué aplicaciones tiene.
¿Qué es la transformada inversa de Fourier?
La transformada inversa de Fourier es una función que toma como entrada un conjunto de coeficientes complejos que representan las amplitudes y fases de las componentes frecuenciales de una señal, y devuelve como salida la señal original en el dominio del tiempo.
La fórmula matemática de la transformada inversa de Fourier es la siguiente:
Donde:
x(t) es la señal original en función del tiempo.
X(𝛚) es la transformada de Fourier de la señal, es decir, el conjunto de coeficientes complejos que representan las componentes frecuenciales.
𝛚 es la frecuencia angular, que se relaciona con la frecuencia lineal f mediante la expresión 𝛚 = 2 𝝅 f.
e-j2t es una función exponencial compleja que representa una onda sinusoidal de frecuencia 𝛚 y fase 𝝅, donde ej = cos 𝝅 + i sin 𝝅.
La transformada inversa de Fourier se puede interpretar como una suma ponderada de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias y fases, que al superponerse reconstruyen la señal original.
¿Cómo se calcula la transformada inversa de Fourier?
La transformada inversa de Fourier se puede calcular mediante diferentes métodos numéricos, como el algoritmo de la transformada rápida de Fourier inversa (IFFT, por sus siglas en inglés), que es una versión optimizada de la transformada discreta de Fourier inversa (IDFT, por sus siglas en inglés).
La IDFT se basa en discretizar el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, es decir, dividirlos en intervalos iguales y tomar muestras equiespaciadas. De esta forma, se obtiene una aproximación numérica de la integral definida en la fórmula anterior.
La IFFT es un algoritmo que aprovecha las simetrías y propiedades de la IDFT para reducir el número de operaciones necesarias para calcularla. La IFFT se puede implementar mediante diferentes variantes, como el algoritmo radix-2 o el algoritmo Cooley-Tukey.
¿Qué aplicaciones tiene la transformada inversa de Fourier?
La transformada inversa de Fourier tiene múltiples aplicaciones en diversos campos relacionados con el análisis y procesamiento de señales. Algunos ejemplos son:
- Síntesis y modificación de sonido: La transformada inversa de Fourier permite generar sonidos a partir de sus espectros de frecuencia, o modificar los sonidos existentes alterando sus componentes frecuenciales. Por ejemplo, se puede cambiar el tono, el timbre o el volumen de un sonido.
- Reconstrucción y filtrado de imágenes: La transformada inversa de Fourier permite reconstruir imágenes a partir de sus espectros de frecuencia, o filtrar las imágenes eliminando o atenuando ciertas componentes frecuenciales. Por ejemplo, se puede reducir el ruido, mejorar el contraste o aplicar efectos especiales a una imagen.
- Compresión y codificación de datos: La transformada inversa de Fourier permite comprimir o codificar datos aprovechando la redundancia o la correlación entre las componentes frecuenciales de una señal. Por ejemplo, se puede reducir el tamaño de un archivo de audio o de imagen, o transmitir datos de forma más eficiente y/o segura.
Las Propiedades más importantes de la Transformada de Fourier
La representación gráfica de la Transformada de Fourier
Es común representar la Transformada de Fourier en su forma gráfica, conocida como espectro de frecuencias. En el espectro de frecuencias, el eje horizontal representa las diferentes frecuencias presentes en la señal, mientras que el eje vertical representa la amplitud o magnitud de cada frecuencia.
Esta representación gráfica proporciona una visualización clara de las diferentes frecuencias que componen una señal, lo que puede ser útil para identificar características específicas de la señal.Esta representación también muestra cómo se distribuyen las diferentes frecuencias en la señal, lo que puede ayudar a determinarlas principales componentes frecuenciales y su relación entre sí.
La representación gráfica de la Transformada de Fourier permite visualizar claramente las diferentes frecuencias presentes en una señal y entender cómo contribuyen a la forma y contenido de la señal.
La Transformada de Fourier también se puede representar en forma de gráfico bidimensional conocido como espectrograma. El espectrograma muestra cómo evoluciona el contenido de frecuencia de una señal a lo largo del tiempo.
La representación gráfica de la Transformada de Fourier es una forma visual de mostrar las diferentes frecuencias presentes en una señal y cómo cambian a lo largo del tiempo.
La representación gráfica de la Transformada de Fourier es una herramienta visual que muestra las diferentes frecuencias presentes en una señal y cómo contribuyen a su forma y contenido.
.Series de Fourier
Las series de Fourier permiten descomponer una señal periódica en una suma infinita de senos y cosenos con diferentes frecuencias, amplitudes y fases. Esta representación facilita el estudio de las propiedades espectrales de las señales, así como su manipulación por sistemas lineales.
Las series de Fourier son una herramienta matemática utilizada para descomponer una señal periódica en una suma infinita de funciones seno y coseno.
Cualquier señal periódica puede expresarse como una combinación lineal de armónicos (senos y cosenos) con diferentes frecuencias.
Las series de Fourier son ampliamente utilizadas en análisis de señales, procesamiento de audio, compresión de datos y más.
Ejemplo: La serie de Fourier de una onda cuadrada se compone de múltiples armónicos, como senos y cosenos, que al sumarse recrean la forma de onda original.
Aplicaciones, ejemplos y ejercicios resueltos
Las series de Fourier consisten en una sumatoria de infinitos términos, los cuales constan de funciones armónicas, seno y coseno, cuyo argumento es múltiplo entero de una frecuencia fundamental.
Las funciones seno y coseno están multiplicadas por coeficientes de valores, tales que la sumatoria es idéntica a una función con periodo T igual a dos veces pi (2π) dividido entre la frecuencia angular fundamental ω.
Figura 1. Aquí se muestran (en azul) los seis primeros armónicos no nulos de la serie de Fourier correspondiente a una señal de forma de onda cuadrada. La sumatoria estos armónicos da lugar a la señal de color rojo. Fuente: Wikimedia Commons.
Matemáticamente se expresaría así:
Donde ω es la frecuencia fundamental, que se relaciona con el período T de la función f(t) mediante la relación:
ω = 2π / T
Por ser periódica de período T, la función f(t) cumple esta condición:
f(t) = f(t + k T)
Donde k es un número entero y los coeficientes a0 , an y bn se denominan los coeficientes de Fourier.
Importancia y usos de las series de Fourier
El nombre de series de Fourier se debe a que su descubridor fue el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier, quien las publicó entre 1807 y 1811, cuando buscaba la manera de resolver la ecuación de calor.
Este descubrimiento fue fundamental para las Matemáticas, ya que si una ecuación diferencial tiene una solución particular armónica, entonces es posible conseguir la solución general mediante la superposición o sumatoria de las mismas.
Los coeficientes de Fourier de una función periódica, también llamada señal, son el espectro de la misma.
Por lo tanto, el espectro es el conjunto de frecuencias que conforman una señal caracterizada por la amplitud de cada frecuencia, lo cual se corresponde con los valores de los coeficientes de Fourier.
Los sistemas de compresión de señales o formas de onda de audio y video, en el fondo lo que hacen es guardar en una memoria los coeficientes de Fourier, ya que el conocimiento de los mismos permite reconstruir la señal original, con la ventaja que ocupan un número significativamente menor de bits que la señal original digitalizada.
La serie de Fourier de una señal es como su huella digital, en el sentido que, conocidos los coeficientes que la conforman, siempre se puede saber a qué señal pertenecen.
Aunque el uso de la serie de Fourier, o su forma más general, la transformada de Fourier, como método de compresión de señales se conoce desde hace bastante tiempo, su uso en la práctica tuvo que esperar por procesadores numéricos lo suficientemente rápidos, que permitieran que las señales fuesen comprimidas y descomprimidas en “tiempo real”.
Ejemplo de serie de Fourier
A continuación se da un ejemplo de función f(t) y su serie de Fourier.
La función es:
f(t) = { 0 si 0 ≤ t < π y 1 si π ≤ t < 2π }
Y tiene su correspondiente serie de Fourier dada por:
f(t) = ½ – 2/π⋅Sen(t) – 2/(3π)⋅Sen(3t) – 2/(5π)⋅Sen(5t) – 2/(7π)⋅Sen(7t) – …..
La siguiente figura muestra la función y la suma parcial de la serie de Fourier:
Figura 2. Se muestran los 19 primeros términos de la sumatoria de Fourier correspondiente a la función escalón. Fuente: F. Zapata.
Determinación de los coeficientes
A continuación se muestra cómo determinar los coeficientes de Fourier:
Supongamos que la función sea f(x) definida en un intervalo que va desde ti hasta ti+T, donde T mayúscula será el periodo de la función. Entonces su serie de Fourier es:
f(t) = a₀/2 + a₁ Cos(ω t) + a₂ Cos(2 ω t) + …+an Cos( n ω t) + ….+ b₁ Sen(ω t) + b₂ Sen(2 ω t) + …+bn Sen( n ω t) +……
Cálculo del término independiente
Para hallar el término independiente integramos ambos miembros de la igualdad en el intervalo de definición de la función:
[ti , ti+T]
Por lo tanto:
∫ f(t) dt = a₀/2 ∫dt + a₁ ∫Cos(ω t) dt + a₂ ∫Cos(2 ω t) dt + …+an ∫Cos( n ω t) dt + …..+ b₁ ∫Sen(ω t) dt + b₂ ∫Sen(2 ω t) dt + …+bn ∫Sen( n ω t) dt +……
Acá el símbolo ∫ significa integral definida desde ti hasta ti + T.
La integral del primer término es t, que al ser evaluada en su límite superior resulta:
ti + T
Al restar el límite inferior ti, da en definitiva T.
Todos los otros términos son 0, porque se trata de funciones coseno o seno evaluadas en un periodo completo, como mostramos a continuación:
∫Cos(nω t) dt = (1/ nω) ∫Cos(nω t) d(nω t)
Recuerde que el símbolo ∫ significa integración entre ti hasta ti + T.
Para efectuar la integración de los términos que tienen coseno o seno haremos el siguiente cambio de variable:
x = ω (t – ti)
De modo que el diferencial de x, dx es igual al diferencial de d(ωt).
Entonces la integral a efectuar es:
Como n es un número entero, entonces la integral definida siempre dará cero. Lo mismo ocurre con la función seno.
Por lo tanto, la integral definida evaluada en un periodo completo de todos los términos que contienen seno o coseno es 0 y el único término no nulo es el que contiene el coeficiente a₀.
Se concluye por tanto que el término a₀ se calcula así:
Cálculo de los coeficientes an
Para calcular los coeficientes an que multiplican a las funciones coseno, hay que multiplicar ambos miembros de la igualdad:
f(t) = a₀/2 + a₁ Cos(ω t) + a₂ Cos(2 ω t) + …+an Cos( n ω t) + …..+ b₁ Sen(ω t) + b₂ Sen(2 ω t) + …+bn Sen( n ω t) +……
Por la función coseno evaluada en el armónico correspondiente y luego se procede a aplicar la integral definida en un periodo completo a ambos miembros.
Por ejemplo, para calcular am se procede a multiplicar ambos miembros por Cos(mωt):
f(t) Cos( m ω t) = a₀/2 Cos( m ω t) + a₁ Cos(ω t) Cos( m ω t) + a₂ Cos(2 ω t) Cos( m ω t) + …+an Cos( n ω t) Cos( m ω t) + ….+ b₁ Sen(ω t) Cos( m ω t) + b₂ Sen(2 ω t) Cos( m ω t) + …+bn Sen( n ω t) Cos( m ω t) +……
Luego se integra en un periodo completo, es decir en el intervalo que va desde ti hasta ti + T.
La integral del término que contiene a₀ se anula, porque m es un número entero y se está integrando la función coseno en un periodo completo.
Las integrales que contienen el producto Cos( n ω t) Cos( m ω t) también se anulan siempre que n≠m. Solo en el caso que n=m se tiene la integral:
Todos los términos que tienen seno multiplicado por coseno, es decir los que van multiplicados por los coeficientes bn, como contienen integrales del tipo Sen( n ω t) Cos( m ω t) se anulan cuando la integral definida se realiza sobre un periodo completo.
De aquí se concluye que:
Cálculo de los coeficientes bn
Para hallar los coeficientes bn se aplica un procedimiento similar, pero esta vez se multiplican ambos miembros de la función igualada a la serie de Fourier completa por la función sen(m ω t).
Por las mismas razones ya explicadas para el caso en el que se multiplicaba por el coseno, el único término que no se anula después de integrar en un periodo completo es aquel en el cual:
n=m
Y donde aparece la integral de [Sen(m ω t)]2, que integrada sobre un periodo completo da como resultado π.
De esta forma, los coeficientes bn se calculan de acuerdo a la siguiente fórmula:
