5. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo (SLIT) son aquellos que cumplen dos propiedades fundamentales: la linealidad y la invariancia temporal. Estas propiedades implican que la respuesta de un SLIT a una entrada cualquiera solo depende de la forma de la entrada y no de su amplitud, frecuencia o instante de aplicación. Además, la respuesta de un SLIT a una suma de entradas es igual a la suma de las respuestas a cada entrada por separado. 

 

Estos sistemas son muy importantes en el análisis de señales y sistemas, ya que tienen propiedades matemáticas que los hacen más fáciles de estudiar y manipular. Además, muchos sistemas reales se pueden aproximar como LTI, lo que permite aplicar las herramientas teóricas a problemas prácticos.


Un sistema es una relación entre una entrada y una salida, que puede ser una función matemática, una ecuación diferencial, un circuito eléctrico, un filtro, etc. Un sistema es lineal si cumple el principio de superposición, es decir, si la salida para una combinación lineal de entradas es igual a la misma combinación lineal de las salidas correspondientes. Esto implica que el sistema no tiene efectos no lineales como saturación, distorsión o memoria.


Un sistema es invariante en el tiempo si su comportamiento no cambia con el tiempo, es decir, si la salida para una entrada dada es la misma independientemente del instante en que se aplica la entrada. Esto implica que el sistema no tiene elementos que varíen con el tiempo como capacitores, inductores o fuentes de alimentación.


Los sistemas LTI se pueden caracterizar por su respuesta al impulso, que es la salida del sistema cuando se le aplica un impulso unitario como entrada. La respuesta al impulso contiene toda la información sobre el sistema, y se puede usar para calcular la salida para cualquier otra entrada mediante la convolución. La convolución es una operación matemática que consiste en "deslizar" la respuesta al impulso sobre la entrada y sumar los productos punto a punto.


Los sistemas LTI también se pueden analizar en el dominio de la frecuencia, usando la transformada de Fourier. La transformada de Fourier permite descomponer una señal en sus componentes de frecuencia, y estudiar cómo el sistema afecta a cada una de ellas. La transformada de Fourier de la respuesta al impulso se llama función de transferencia, y representa la relación entre las amplitudes y las fases de las entradas y las salidas en cada frecuencia. La función de transferencia se puede usar para calcular la salida para cualquier entrada mediante el producto de Fourier, que es el equivalente en frecuencia a la convolución en tiempo.


Los sistemas LTI tienen muchas ventajas desde el punto de vista del análisis y el diseño. Por ejemplo, se pueden usar principios de superposición y simetría para simplificar los cálculos, se pueden aplicar teoremas como el de Parseval o el de Nyquist para obtener propiedades globales del sistema, se pueden usar diagramas de Bode o de Nyquist para visualizar el comportamiento del sistema en frecuencia, se pueden usar criterios como el de estabilidad o el de robustez para evaluar el desempeño del sistema ante perturbaciones o incertidumbres, etc.


Un sistema lineal es aquel en el cual se aplica la superposición de efectos, de manera que si F{ } representa la función transferencia (FT) del sistema, f(t) representa la señal de entrada y g(t) representa la señal de salida del sistema debe cumplirse que:

 


Un sistema invariante en el tiempo es aquel en el cual un desplazamiento de tiempo en la entrada provoca un desplazamiento de tiempo en la salida, de manera que

En conclusión, los sistemas lineales invariantes en el tiempo son un tipo de sistemas muy útiles y versátiles en el campo de las señales y los sistemas, ya que permiten aplicar técnicas matemáticas potentes y elegantes a problemas reales complejos.