4. Integral de Riemann

La integra de una función definida se puede aproximar por el método de Riemann. Recordemos que la integral de una función es el área bajo la curva.

\int_{x_{0}}^{x_{f}}f\left(x\right)dx\approx\sum_{i=0}^{i=n}f\left(x_i\right)\varDelta x

cuanto más pequeño el delta más exacta será la aproximación.


Ejemplo

Para calcular la integral de la siguiente función polinómica

f\left(x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d



\int_{x_{0}}^{x_{f}}f\left(x\right)dx\approx f\left(x_{0}\right)\Delta x+f\left(x_{1}\right)\Delta x+...+f\left(x_{8}\right)\Delta x


Ejercicio

Para que un tren complete el recorrido entre dos localidades, la locomotora debe ejercer una fuerza variable con la posición, que responde a la siguiente función:

f\left(x\right)=-0,0035x^2 +18x +10000

En un gráfico fuerza en función de la posición, el área bajo la curva es el trabajo que es lo que queremos calcular o aproximar.

Se puede aproximar dicha área utilizando la integral de Riemann. Esto consiste en dividir el espacio de interés en intervalos iguales y suponer que cada uno es un rectángulo de altura igual al valor de la función al comienzo del segmento y de ancho igual a la longitud del intervalo (aproximación de orden 0). Cuanto menor sea la longitud del intervalo, mayor sera la exactitud de la aproximación.

Realizar un programa en C++ para determinar el trabajo realizado por la locomotora, para ir desde la localidad 1 hasta la localidad 2 a 5000 m de distancia, utilizando una aproximación de orden 0. Analizar la influencia de la longitud del intervalo.

Implementar una función que evalúe el valor de la fuerza para una posición dada y otra función que vaya sumando las sucesivas áreas.