Líneas de transmisión | Teoria de las lineas de transmision

4. Teoria de las lineas de transmision

En todos los tipos de línea (coaxial, bifilar) de transmisión del modo TEM, las ecuaciones básicas tienen la misma forma que las ecuaciones de la seccion anterior para líneas de planos paralelos. Si

$R, L, G y C$ son la resistencia, inductancia, conductancia y capacidad totales por unidad de longitud, las ecuaciones de la línea de transmisión pueden expresarse como:

$\frac{dV}{dz} = -(R + j\omega L)I$

$\frac{dI}{dz} = -(G + j\omega C)V$

Diferenciandolas y operando con ellas resulta:

$\frac{d^2 V}{dz^2} = \gamma^2 V$

$\frac{d^2 I}{dz^2} = \gamma^* I$

En las que

$\gamma^2 = (R + j\omega L)(G + j\omega C)$

Las ecuaciones anteriores de $V$ y $I$ tambien pueden expresarse de manera exponencial como:

$V = V' e^{-\gamma z} + V'' e^{\gamma z}$

$I = I' e^{-\gamma z} + I'' e^{\gamma z}$

Las soluciones aparecen como suma de dos ondas, una progresando en la dirección positiva de $x$ y otra (regresiva) desplazándose en el sentido negativo de $x$ . La razón voltaje a corriente de la onda progresiva en sentido positivo de $x$ , es

$\frac{V'}{I'} = Z_0$

mientras que para la onda "reflejada" (regresiva) que se desplaza en el sentido negativo de $x$ será

$\frac{V''}{I''} = -Z_0$

$Z_0$ es la impedancia característica de la línea y se obtiene con las llamadas constantes primarias $R, L, C$ y $G$ por

$Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}} \quad$

Si la línea termina en una impedancia $Z_R$ situada en $z = 0$ , la razón de $V$ a $I$ en tal punto será igual a $Z_R$ , de manera que

$Z_R = \frac{V'}{I'} = \frac{V' + V''}{I' + I''} = Z_0\left(\frac{I''}{I' + I''}\right)$

Estas relaciones pueden combinarse para dar los coeficientes de reflexión

$\Gamma_R = \frac{V''}{V'} = \frac{Z_R - Z_0}{Z_R + Z_0} \quad$

$frac{I''}{I'} = \frac{Z_0 - Z_R}{Z_0 + Z_R}$

Tambien es posible expresar las relaciones de $V$ e $I$ en su expresion hiperbolica. (Demostracion en la pagina 254-255 "Ondas electromagneticas y sistemas radiantes" Jordan

$V_{S} = V_{R} \cosh \gamma Z_{1} - Z_{0}I_{R} \sinh \gamma Z_{1}$

$I_{R} = I_{R} \cosh \gamma Z_{1} - \frac{V_{R}}{Z_{0}} \sinh \gamma Z_{1}$

Es costumbre situar la impedancia terminal $Z_R$ en el punto de referencia $z = 0$ y considerar el extremo del transmisor a la izquierda, es decir, en la dirección $-z$ , como indica la siguietne figura.

Entonces, haciendo $l = Z_1$ , las ecuaciones se convierten en:

$V_S = V_R \cosh \gamma l + Z_{0R} I_R \sinh \gamma l$

$I_S = I_R \cosh \gamma l + \frac{V_R}{Z_0} \sinh \gamma l$

Estando medida l desde el extremo del receptor de la linea.

Estas son las ecuaciones generales de una línea de transmisión que relacionan los voltajes y las corrientes en los dos extremos de la línea.

Las expresiones generales de la impedancia de entrada a la línea se obtiene :

$Z_{in} = \frac{V_S}{I_S} = \frac{V_R \cosh \gamma l + Z_{0}I_{R} \sinh \gamma l}{I_R \cosh \gamma l + \left( \frac{V_R}{Z_0} \right) \sinh \gamma l}$

Hay ciertos casos especiales de interés: En una línea cortocircuitada en su extremo receptor, $Z_R = 0$ , y por tanto $V_R = 0$ ; resultando una impedancia de entrada a la línea de

$Z_{sc} = Z_0 \tanh \gamma l$

En una línea con su extremo receptor abierto $Z_R = \infty$ , $I_R = 0$ , la impedancia de entrada a la línea será

$Z_{oc} = Z_0 \coth \gamma l$

El producto de ambas da:

$Z_{sc} Z_{oc} = {Z_0}^{2}$