Introducción a Redes

Se presenta un parámetro relacionado con la SNR que es más adecuado para determinar las tasas de error y la velocidad de transmisión.
Se usa habitualmente para medir la calidad de las prestaciones de los sistemas de comunicación digital.
Este parámetro es el cociente de la energía de la señal por bit entre la densidad de potencia del ruido por hercio:   $\frac{E_b}{N_0}$
Cuanto mayor sea el cociente, quiere decir que el bit tiene mayor energía que el ruido.
Sea una señal, digital o analógica, que contenga datos digitales binarios transmitidos a una determinada velocidad R. Teniendo en cuenta que $1 \, \text{W} = 1 \, \text{J/s}$, la energía por bit de la señal será $E_b = S \cdot T_b$ , donde S es la potencia de la señal y $T_b$ es el tiempo necesario para transmitir un bit.
La velocidad de transmisión es $R = \frac{1}{T_b}$  . Por tanto:
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{\frac{S}{R}}{N_0} = \frac{S}{kT R}$
Nótese que cuando se aumenta la velocidad de transmisión R, la potencia de la señal transmitida S, , debe aumentarse para mantener el cociente $\frac{E_b}{N_0}$ en el nivel deseado.
Para ruido termico Blanco : $N_0 = kT$, $k$ = Boltzman’s constant ($N_0 = (1.38 \times 10^{-23}) \cdot T$) y $T = 290 \, \text{K}$ para Temp. Ambiente.

Ejercicios Cociente de Energía de Señal por Bit ($\frac{E_b}{N_0}$)

Este parámetro tiene relación con la relación señal ruido y por consecuencia con la calidad de señal
y la calidad de los sistemas de comunicaciones digitales.
Se usa para señales digitales o analógicas que contengan datos digitales binarios transmitidos.
Es adecuado para determinar la tasa de error y velocidad de trasmisión.
Retomando:
$E_b$: Representa la cantidad de energía por bit. Unidad $[\text{Joules}]$
$N_0$: El ruido de densidad espectral. Unidad: $[\text{vatios/Hz}] \quad \text{o} \quad [\text{W s}]$
Teniendo en cuenta que:
$1 \, \text{vatio} = 1 \, \frac{\text{julio}}{\text{segundo}} \quad \Rightarrow \quad 1 \, \text{julio} = 1 \, \text{vatio} \cdot \text{segundo}$
Siendo $S$ la potencia en [vatios] de un bit, y $T_b$ el tiempo que dura un bit [segundos], podemos plantear:
$E_b \, [\text{Joules}] = S \, [\text{vatios}] \cdot T_b \, [\text{segundos}]$ (1)
Como $T_b$ es el tiempo de un bit time, la cantidad de Bits por unidad de tiempo se calcula planteando
$\frac{1}{T_b} = C \, [\text{bps ó} \, \frac{1}{\text{s}}] \quad \text{o} \quad C = \frac{1}{T_b}$ (2)
$C$ resulta ser la Velocidad de transmisión y está expresadas en bits/segundo ó bps. Reemplazando en (1) $T_b$, tenemos..
$E_b = S \cdot T_b = \frac{S}{C}$ (3)
Si planteamos el cociente $\frac{E_b}{N_0}$:
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{\frac{S}{C}}{N_0}$ (4)
Si $N_0$es densidad de potencia del ruido, en vatios por 1 Hz de ancho de banda, podemos expresar $N = kTB$
Donde llamamos $T$ a la temperatura absoluta, expresada en Kelvin, B ancho de banda y k es la constante de Boltzman.
Si planteamos el Ruido Térmico por Hz, $N_0 = k \cdot T \quad [\text{W/Hz}] \quad \text{o} \quad [\text{W s}], \quad [\text{J/K}]$
Podemos finalmente, plantear la expresión reemplazando N₀:
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{\frac{S}{R}}{N_0} = \frac{S}{kT C}$ (5)
Se lo expresamos en decibeles:
$\left(\frac{E_b}{N_0}\right)_{\text{dB}} = 10 \log\left(\frac{S}{k \cdot T \cdot C}\right) = S_{\text{dBW}} - 10 \log k - 10 \log T \quad$ (6) 
$\left(\frac{E_b}{N_0}\right)_{\text{dB}} = S_{\text{dBW}} - 10 \log C + 228.6 \, \text{dBW/Hz} - 10 \log T \quad$ (7)
También se puede plantear (5) en términos de SNR. Recordando que $N_0 = \frac{N}{B}$, con $B$ ancho de banda y densidad espectral de ruido térmico:
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{S \cdot B}{N \cdot C}$ (8)
Según la fórmula de Shannon, sobre la capacidad de un canal:
$C = B \log_2 \left(1 + \frac{S}{R}\right) \implies \frac{C}{B} = \log_2 \left(1 + \frac{S}{R}\right) \implies 2^{\frac{C}{B}} = 1 + \frac{S}{R} \implies \frac{S}{R} = 2^{\frac{C}{B}} - 1$ (9)
Reemplazando (8) en (9)
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{B}{C} 2^{\frac{C}{B}} - 1$ $C$: Capacidad [bps], $B$: Ancho de Banda [Hz].
Esta fórmula es útil por que relaciona la eficiencia espectral (bits por Hz) con la energía de la señal por bit respecto del ruido.

Ejemplo 1

A temperatura ambiente, es decir a $T = 17 \,^{\circ}C \quad \text{o} \quad T = 290 \,K$, la densidad de potencia del ruido térmico será:
$N_0 = (1.38 \times 10^{-23}) \times 290 = 4 \times 10^{-21} \, \text{W/Hz} = -204 \, \text{dBW/Hz}$
donde dBW corresponde a decibelios-vatio.

Ejemplo 2

En el siguiente ejemplo se relacionan las formulaciones de Shannon y Nyquist. Supóngase que el espectro de un canal está situado entre $3 MHz$ y $4 MHz$ y que la $\text{SNR}_{\text{dB}} = 24 \, \text{dB}$. En este caso,
$B = 4 \, \text{MHz} - 3 \, \text{MHz} = 1 \, \text{MHz}$
$\text{SNR}_{\text{dB}} = 24 \, \text{dB} = 10 \cdot \log_{10}(\text{SNR})$
$\text{SNR} = 251$
Usando la fórmula de Shannon se tiene que:
$C = 10^6 \cdot \log_2(1 + 251) \approx 10^6 \cdot 8 = 8 \, \text{Mbps}$
Éste es un límite teórico difícil de alcanzar. No obstante, supóngase que este límite se puede alcanzar. Según la fórmula de Nyquist, ¿cuántos niveles de señalización se necesitarán? Se tiene que:
$C = 2B \log_2 M$
$8 \times 10^6 = 2 \times 10^6 \log_2 M$
$4 = \log_2 M$
$M = 16$

Ejemplo 3

Supongamos que queremos encontrar el máximo $\frac{E_b}{N_0}$ necesario para conseguir una eficiencia espectral de $6 \, \text{bps/Hz}$.
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{1}{6} \cdot 2^6 - 1 = 10.5$ en $d_B$
$10 \cdot \log_{10} 10.5 = 10.21 \, \text{dB}$
$\frac{E_b}{N_0} = \frac{S \cdot B}{N \cdot C} = \frac{S}{N} \cdot \frac{1}{6}$
$6 \cdot \frac{E_b}{N_0} = \frac{S}{N}$
$10 \cdot \log_{10} \left(6 \cdot \frac{E_b}{N_0}\right) = 18 \, \text{dB}$
Vamos a tener que lograr en el canal 18 dB para poder transmitir 6 bps por Hz.

Ejemplo 4

Cuál es la capacidad de un canal de “teletipo” de 300 Hz de AB y una S/N de 3 dB. Usando Shannon $C = B \cdot \log_2(1 + \frac{S}{R}) \, \text{bps}$  pasemos 3 dB a una valor que no esté en decibeles.
$3 \, \text{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left(\frac{S}{N}\right) \quad \Rightarrow \quad \frac{S}{N} = 0.5$
Entonces:
$C = 300 \cdot \log_2(1 + 0.5) \, \text{bps} = 300 \cdot \frac{\log_{10} 1.5}{\log_{10} 2} \, \text{bps} = 300 \cdot 0.17609 \cdot 0.30102 = 175.48 \, \text{bps}$

Ejemplo 5

En la modulación digital binaria PSK (Phase-Shift Keying), para obtener una tasa de error por bit igual a $10^{-4}$ (un bit erróneo cada 10.000) se necesita un cociente $\frac{E_b}{N_0} = 8.4 \, \text{dB}$. Si la temperatura efectiva es $290 K$ (temperatura ambiente) y la velocidad de transmisión es $2.400 bps$, ¿qué nivel de señal recibida se necesita? 
En este caso se tiene que:
$8.4 = S_{\text{dBW}} - 10 \cdot \log_{10}(2400) + 222.6 \, \text{dBW} - 10 \cdot \log_{10}(290)$
$8.4 = S_{\text{dBW}} - (10 \cdot 3.38) + 228.6 \, \text{dBW} - (10 \cdot 2.46)$
$S_{\text{dBW}} = -161.8 \, \text{dBW}$