Análisis Numéricos.
2. Método de Newton Raphson
El método de Newton-Raphson, permite hallar una raíz de una ecuación no-lineal siempre y cuando se parte de una buena estimación inicial de la misma.
El esquema iterativo de Newton puede derivarse del desarrollo de Taylor de la función alrededor de la estimación inicial.
Supongamos que tenemos esta función:
Si la graficamos ( en https://www.geogebra.org/) vemos que la gráfica sería:
Bien, si ampliamos la zona de la intersección de los ejes , vemos:
Esto indica que existen unas raices para esta función, para x entre [0;5] (3 para ser precisos).
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.
¿Como sabemos cuando estamos cerca de una raíz?
Respuesta: Cuando el valor de f(x1) cambia de signo respecto de f(x2) indica que tenemos una raíz entre x1 y x2.
Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto).
La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión (como es nuestro caso) o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Veamos un código en C++ que intenta encotrar una aproximación a la Raiz de esta función.